Основы численных методов. Гриф МО РФ Вержбицкий В.М. Высшая школа 2009. Вержбицкий, Основы. Основы численных методов.

1. Нелинейные Уравнения
2. Метод Касательных

Голосов: 6 Учебное пособие предназначено для студентов специальностей: '202600 - радиоэлектронные системы, 220100 - вычислительные машины, комплексы, системы и сети, 220400 - программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем, 351500 - математическое обеспечение и администрирование информационных систем' по дисциплине 'Вычислительная математика' одним из разделов, которой являются вычислительные методы линейной алгебры. Учебное пособие содержит кроме теории методов решения систем линейных алгебраических уравнений и задач на собственные значения и алгоритмы этих методов, также задания для лабораторных работ, которые должны выполняться на компьютере.

6  1 3 0.5 6   2  0.2666         − 2 − 3 6 0.5   0  0.1417  5) А=  , b=  3 . 3 − 6 −1 2 − 0.1080         5 −3 1 1   4  0.6536         1 0.5 − 0.1 0.2   10   − 2.2108         2 − 1.5 2 7   5   − 11.4098  6) А=  , b=  8 . 4 6 − 1 0.5 − 9.8773         3 −1 5 0.7   − 6  14.2398         − 4 1 − 1 − 0.7   5   − 2.7198         3 −1 2 7   10   − 1.3250  7) А=  , b=  8 .

6 0.5 7 − 0.1 3.5885         2 3 0.5 − 1   − 9  1.3796        1 − 2 3 6.5  4  0.3361        2 3 − 6 − 0.5  6  − 0.3353  8) А= , b=  . 5 7 −1 0.5  11 − 0.2123         3 2 − 0.5 0.2  7  2.3966        3 2 − 2.5 8  8  0.4046         4 − 3.5 8.7 0.9   11  1.3733  9) А= , b=  . −1 5 3 0.9  13 1.9849        7 −2 3 − 2.5  9  1.4088        4 1 −3 9   5  0.0841         3 − 2 8.8 2.5   2  − 0.0065  10) А=  , b=  4 . 1 6.7 4 − 1.5 0.4801        6 3 2 − 0.5  7  0.9358        Задание № 3.2 Приведенные здесь варианты СЛАУ решить методом релаксации: 1) 2х1+3х2+20х3- х4=-10, 2) х1- 5х2+6х3+13х4=15, 3х1+2х2+ х3+20х4=15, х1+10х2- х3+ 2х4=10, 10х1- х2+ 2х3- 3х4=1, 3х1+ 4х2-15х3- 8х4=8, х1+10х2- х3+ 2х4=5. 15х1- 2х2+ 3х3- 6х4=5. Ответ: х1=0.3111, х2=0.3722, Ответ: х1=1.0602, х2=0.4256, х3=-0.5772, х4=0.195. Х3=-1.1501, х4=1.7668.

3) 3х1+7х2- 8х3- 19х4=8, 4) 6х1- 9х2+ х3-17х4=8, 5х1- 8х2+15х3-1.5х4=7, х1+ 7х2-11х3-2.5х4=15, 2х1+ 6х2-2.5х3- х4=10, -5х1+10х2+3х3-1.5х4=12, 7х1+2х2- 3х3+1.5х4=6. 9х1- 3х2- 4х3+1.5х4=10. Ответ: х1=0.8465, х2=1.8536, Ответ: х1=2.0438, х2=2.0159, х3=1.1637, х4=-0.0944. Х3=0.2868, х4=-0.7996. 5) -х1+4х2+ 7х3+13х4=7, 6) -5х1+ х2- 6х3-13х4=10, -6х1+3х2-11х3-1.5х4=11, 3х1+4х2-12х3+4х4=11, 3х1+7х2- 2х3+ х4=8, -2х1-15х2+7х3- 4х4=9, 5х1- х2+ 3х3+0.5х4=5. 11х1+ 5х2-3х3+2.5х4=13.

Ответ: х1=2.2550, х2=-1.0038, Ответ: х1=1.5732, х2=-1.1289, х3=-2.8524, х4=2.5567. Х3=-1.2018, х4=-0.9065. 7) х1-7х2+ 3х3- 12х4=5, 8) 3х1+ 2х2- 7х3-14х4=12, -5х1-3х2+15х3+ 6х4=10, -4х1- х2+10х3+4х4=10, -2х1+8х2+ 3х3- 2х4=9, 5х1-16х2+ 4х3- 5х4=15, 7х1- х2+ 5х3+0.5х4=7. 11х1- 6х2+ 3х3- х4=9. Ответ: х1=0.3366, х2=0.6671, Ответ: х1=0.2387, х2=0.1065, х3=1.1122, х4=-0.4997. Х3=1.7780, х4=-1.6798. 9) 5х1-6х2+ х3+14х4=10, 10) х1- 8х2+5х3-15х4=11, -3х1+7х2-13х3+ 2х4=8, -х1+ 7х2+12х3- 2х4=9, х1-10х2+ 6х3- 2х4=9, 3х1-11х2+ 4х3- 3х4=10, 9х1+5х2- 3х3+ х4=7.

13х1+ 6х2- 5х3+1.5х4=12. Ответ: х1=1.2105, х2=-1.8826, Ответ: х1=1.363, х2=-0.1370, х3=-1.9676, х4=-0.3843. Х3=0.8985, х4=-0.2699. ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 4 Тестовые примеры Здесь приведены 10 примеров, которые могут быть использованы при предварительной отладке программ, составленных с применением различных численных методов решения за- дач на собственные значения. 1) Найти все собственные значения на основе классического метода Якоби: 5 7 6 5  λ 1 = 0.010,    7 10 8 7  λ 2 = 0.843, А= .

Ответ: 6 8 10 9  λ 3 = 3.858,    5 7 9 10  λ 4 = 30.289.   2) Найти все собственные значения на основе барьерного метода Якоби:  1 0.42 0.54 0.66  λ 1 = 2.3227488,    0.42 1 0.32 0.44  λ 2 = 0.7967067, А= .

Ответ: 0.54 0.32 1 0.22  λ 3 = 0.6382838,    0.66 0.44 0.22 1  λ 4 = 0.2422607.   3) Найти все собственные значения с применением экономической стратегии выбора анну- лируемого элемента:  0.22 0.02 0.12 0.14  λ 1 = 0.48,    0.02 0.14 0.04 − 0.06  λ 2 = 0.24, А= .

Ответ: 0.12 0.04 0.28 0.08  λ 3 = 0.12,    0.14 − 0.06 0.08 0.26  λ 4 = 0.06.   4) Найти все собственные значения и соответствующие им собственные вектора методом итерации:  4 2 2 λ 1 = 8.3874,  0.8077с   0.2170с     1  2  А=  2 5 1 . Ответ: λ 2 = 4.4867, х1=  0.7720с1 , х2=  с2 ,  2 1 6   с     − 0.9473с     λ 3 = 2.1260.  1   2  с3    х3=  − 0.5673с 3 ,   − 0.3698с    3 где с1, с2, с3 – произвольные постоянные, отличные от нуля. 5) Найти максимальное по модулю собственное значение с применением степенного мето- да:  1 0.42 0.54 0.66     0.42 1 0.32 0.44  А= . Ответ: λmax=2.3227488.

0.54 0.32 1 0.22     0.66 0.44 0.22 1    6) Найти минимальное по модулю собственное значение с применением обратного степен- ного метода: 5 4 3 2 1   4 6 0 4 3 А=  3 0 7 6 5. Ответ: λmin=-1.096595.   2 4 6 8 7   1 3 5 7 9 7) Найти минимальное по модулю собственное значение с применением обратного степен- ного метода со сдвигом:  1.66 0.60811183 0.53740115 0     0.60811183 1 0.32 0.01414214  А= .

0.53740115 0.32 1 − 0.22627417     0 0.01414214 − 0.22627417 0.34    Ответ: λmin=0.24226071. 8) Найти все собственные значения с применением QL – алгоритма:  − 5.509882 1.870086 0.422908 0.008814     0.287865 − 11.811654 5.7119 0.058717  А= . 0.049099 4.308033 − 12.970687 0.229326     0.006235 0.269851 1.397369 − 17.596207    Ответ: λ1=-17.86303, λ2=-17.15266, λ3=-7.57404, λ4=-5.2987. 9) Найти все собственные значения с применением QR – алгоритма: 1 0 1 0     1 0.7777778 0.3333333 0.3333333  А= . 0 − 0.0252525 0.5555556 − 0.0252525     0 − 0.8888889 − 8.6444444 0.1111111    Ответ: λ1=1, λ2=2/3, λ3=4/9, λ4=1/3. 10) Решить обобщенную задачу на собственные значения: 10 2 3 1 1   12 1 − 1 2 1       2 12 1 2 1   1 14 1 − 1 1  А=  3 1 11 1 − 1, В=  − 1 1 16 − 1 1 .

Нелинейные Уравнения

    1 2 1 9 1  2 − 1 − 1 12 − 1      1 1 − 1 1 15   1 1 1 − 1 11  Ответ: λк Ах=λВх Вх=λАх 1 0.4327872 0.6700826 2 0.6636627 0.90148196 3 0.9438590 1.0594803 4 1.1092845 1.5067894 5 1.4923532 2.3106043 Задание для индивидуального выполнения Ниже приводится задание, которое может принимать различные варианты. Варианты, в свою очередь, могут использоваться в качестве задания при реализации разных методов. Здесь A i = A iT, при bi=0 и i=0 собственные значения матрицы Ai равны: 81, 9, -3, -6, -27, - 54. 1 Различие вариантов достигается выбором i и bi, например, bi=. Тогда собст- 10000 + i венные значения матрицы Ai будут примерно равными: 81+i, 9+i, -3+i, -6+i, -27+i, -54+i.

 − 15 + i     − 20 + b i 5+i   10 + b − 30 + b i 10 + i  Ai=  i .  − 16 + b i 4 + bi − 24 + b i 5+i     8 + bi − 24 + b i 8 + bi − 30 + b i 10 + i   − 12 + b − 16 + b i 8 + bi − 20 + b i 10 + b i − 15 + i   i  ЛИТЕРАТУРА 1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1988, 548. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н.

Вычислительные методы линейной алгебры. Москва- Ленинград, Гос. Физико-математической литературы, 1963, 734. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., Наука, 1970, 664.

Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М., Нау- ка, 1976, 303. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М., Наука, 1977, 303. Калиткин Н.Н.

Численные методы. М., Наука, 1978, 512.

Линейная алгебра и ее применения. М., Мир, 1980, 454. Самарский А.А. Введение в численные методы.

М., Наука, 1982, 271. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск, Наука, 1993, 158. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994, 334.

Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М., Высшая школа, 2000, 266. Несимметричная проблема собственных значений.

М., Наука, 1991, 240. Симметричная проблема собственных значений. М., Мир, 1983, 382. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М., Высшая школа, 1994. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.

Численные методы. М., Наука, 1987. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М., Наука, 1989.

Уилкинсон Дж.Х. Алебраическая проблема собственных значений. М., Наука, 1970. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравне- ний. М., Мир, 1969. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А.

Матрицы и вычисления. М., Наука, 1984. Численные методы для симметричных линейных систем.

М., Наука, 1988. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ (Учебное пособие) Дашадондок Шагдарович Ширапов Редактор: Т.Ю.

Артюнина Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16. 5,58, уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Издательство ВСГТУ.

Метод Касательных

Г.Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40,. ВСГТУ, 2003 г.